Cheat Sheet Materi 2

Tabel slide: (e^x)′=e^x · (ln x)′=1/x · (sin x)′=cos x · (cos x)′=−sin x · (tan x)′=sec²x

• x²(x+2) → 2x(x+2)+x²·1 = 3x²+4x
• x²/(x+2) → (x²+4x)/(x+2)²; di x=1: 5/9
• y=u², u=x+2 → 2u = 2x+4
• f=x³: f′=3x², f′(1)=3 (slope di x=1)

Perkalian: jangan mengalikan turunan dengan turunan.

• Orde 2: d²f/dx² = d/dx(df/dx). x³ → 3x² → 6x → 6
• Parsial ∂f/∂x_i: turunkan terhadap x_i, variabel lain dianggap konstan
• Campuran: ∂²f/∂x_i∂x_j = ∂²f/∂x_j∂x_i (urutan bebas)

f = x₁³+2x₂²+x₁²x₂: ∂f/∂x₁=3x₁²+2x₁x₂; ∂f/∂x₂=4x₂+x₁²; campuran = 2x₁

Gradien ∇f = vektor semua turunan parsial pertama. f=x₁x₂²+x₂x₃ di (1,2,3): (x₂², 2x₁x₂+x₃, x₂) = (4, 7, 2)

• Ukuran m×n (m baris, n kolom). Transpos A^T: baris ↔ kolom, ukuran n×m
• A ± B: ukuran harus sama; kA: tiap elemen ×k
• AB: (m×k)(k×n) → m×n; kolom A = baris B; elemen (i,j) = Σ_p a_ipb_pj
• Identitas I (n×n): diagonal 1, lainnya 0

A 3×2, B 2×4, C 3×4: AB 3×4 → AB+C ada; BA tak terdefinisi (4≠3); A^TB tak terdefinisi (3≠2)

120-13014 = 58-1-4

1-2-1-102^T = 1-1-20-12

• Minor M_ij: hapus baris i & kolom j
• Kofaktor c_ij = (−1)^i+j det M_ij

A = 1-2-1-1021-1-2 → c₁₁=2, c₁₂=0, c₁₃=1

det A = 1·2 + (−2)·0 + (−1)·1 = 1

2×2 1-2-10: 1·0 − (−2)(−1) = −2

• Principal minor orde k: submatriks dari menghapus (n−k) baris dan kolom dengan indeks sama → total 2ⁿ−1
• Leading principal minor orde k: hapus (n−k) baris & kolom terakhir → tepat n buah

n=3: 7 principal minor, 3 leading. n=5: 31 dan 5. Contoh principal non-leading: a₂₂a₂₃a₃₂a₃₃

Leading selalu memuat a₁₁; submatriks yang membuang baris/kolom pertama bukan leading.

• det A ≠ 0 → ada invers (tak singular). det A = 0 → singular, tak ada invers
• Cari k agar singular: set det = 0. 23k6: 12−3k=0 → k=4
• 2×2: abcd⁻¹ = 1ad−bcd−b−ca
• 1-2-10: det=−2 → A⁻¹ = 0-1−0,5−0,5
• 3×3 slide (det=1): C = 201-3-1-1-4-1-2 → A⁻¹ = C^T = 2-3-40-1-11-1-2
• Operasi baris elementer: [A | I] → [I | A⁻¹]

Slide: A di atas, b = (−2, −6, 4)^T → x = A⁻¹b = (−2, 2, −4)^T (bukan Ab)

Gauss-Jordan: [A | b] → operasi baris → [I | x]

1. Pilih pivot kolom j, jadikan 1 (R_p ← R_p/pivot)
2. Nolkan sisa kolom: R_i ← R_i − a_ijR_p
3. Ulangi tiap kolom

Slide: R₂+R₁, R₃−R₁ → R₂/(−2), R₁+2R₂, R₃−R₂ → R₃/(−0,5), R₁+2R₃, R₂+0,5R₃ → x=(−2,2,−4)

• Derajat n → n akar (boleh berulang). r akar ⇔ (x−r) faktor. f(x) = (x−r)q(x), q derajat n−1 = f ÷ (x−r)
• Orde 1: x = −a₀/a₁ (2x−1=0 → ½)

• x²−x−6: (1±5)/2 = 3, −2 → (x−3)(x+2)
• 2x²−3x−5: (3±7)/4 = 5/2, −1 → Σx² = 25/4+1 = 29/4
• x⁴−2x²+1 = (x²−1)²: 4 akar (1,1,−1,−1), 2 berbeda

Akar rasional: p faktor a₀, q faktor a_n (koefisien bulat) → kandidat x = p/q

x³−2x²−5x+6: a₀=6, a_n=1 → ±1,2,3,6. Coba x=1: sisa 0 → hasil bagi x²−x−6 → akar 1, 3, −2

Bagi 2x³−3x²−11x+6 oleh (x−3): koef 2, 3, −2, sisa 0 → 2x²+3x−2

1. Pilih a₀, b₀ dengan f(a₀), f(b₀) tanda berlawanan
2. m_k = (a_k+b_k)/2. Jika f(m)=0 → x=m
3. f(a_k)f(m_k) > 0 → a_k+1=m, b tetap; selain itu b_k+1=m
4. Henti jika |a_k−b_k| < ε; x = a − (b−a)f(a)/(f(b)−f(a))

f=x²−x−6, [1,4]: 12 iterasi → x=3,0000. x³−2x−5 pada [2,3]: m=2,5 → [2;2,5], lalu [2;2,25], [2;2,125]

f=x²−x−6, f′=2x−1, x₀=4, ε=0,001 → 4 iterasi, x=3

f=x²−10, x₀=3: x₁=3−(−1)/6=3,1667 → x₂≈3,1623

Newton-Raphson (akar) memakai f/f′; jangan tertukar dengan Newton optimisasi (f′/f″, Materi 6).