1 · Model & kondisi perlu
- x ∈ Rn kontinu, bebas (−∞ < xj < ∞); f kontinu & dapat diturunkan 2×
- Gradien ∇f(x) = (∂f/∂x1, …, ∂f/∂xn)T
Hessian H(x) = [∂²f/∂xi∂xj] (n×n). Evaluasi di titik stasioner x*: H(x*)
2 · Kondisi cukup (multi variabel)
Hitung det leading principal minor (LPM) H(x*) orde 1…n:
| H(x*) | x* adalah |
|---|---|
| definit positif atau semidefinit positif | minimum lokal |
| definit negatif atau semidefinit negatif | maksimum lokal |
| tak definit | titik belok (pelana) |
Pola tanda LPM: definit + = (+,+,…); definit − = (−,+,−,…); selain itu (mis. +,−) = tak definit.
Parameter k: H=2kk2, LPM 2 dan 4−k² > 0 ⇒ −2 < k < 2 agar definit positif; |k|>2 tak definit
3 · Optimal global
- Misal x* memenuhi kondisi cukup lokal:
- f cembung (H definit/semidef. + untuk semua x) → x* minimum global
- f cekung (H definit/semidef. − untuk semua x) → x* maksimum global
- H berubah tanda menurut x → hanya lokal
x1⁴+x2²: H=diag(12x1², 2), LPM 12x1²≥0, 24x1²≥0 → semidef. + untuk semua x → cembung → (0,0) minimum global
Konstanta: f+c tak mengubah ∇f, H, maupun x*; nilai f di x* naik c (−x1²−x2²−2x1−2x2: maks 2; +10 → 12)
4 · Langkah pemecahan
- Hitung ∇f(x)
- Pecahkan ∇f = 0 → semua titik stasioner
- Hitung H(x); evaluasi di tiap x*
- Tanda LPM H(x*) → min / maks lokal / belok
- Cek H(x) untuk semua x → cembung/cekung → global
Kondisi perlu = ∇f=0; kondisi cukup = H(x*); global = bentuk f. Contoh sistem: 2x1−4+x2=0, 2x2+2+x1=0 → selesaikan simultan.
5 · Contoh multi variabel (slide)
| f | x* | H(x*) | LPM | hasil |
|---|---|---|---|---|
| x1²+x2²−2x1−2x2 | (1,1) | diag(2,2) | 2, 4 | min lokal & global (cembung) |
| −x1²−x2²−2x1−2x2 | (−1,−1) | diag(−2,−2) | −2, 4 | maks lokal & global (cekung) |
| x1²−x2²−2x1−2x2 | (1,−1) | diag(2,−2) | 2, −4 | belok (tak definit) |
| x1³−x2²−3x1−2x2 | (1,−1) | diag(6,−2) | 6, −12 | belok |
| (−1,−1) | diag(−6,−2) | −6, 12 | maks lokal (H tak konstan → bukan global) |
∇f contoh 1 = (2x1−2, 2x2−2). H contoh 4 = diag(6x1, −2) → ∇f=(3x1²−3, −2x2−2).
6 · Variabel tunggal
| f″(x*) | hasil |
|---|---|
| < 0 | maksimum lokal |
| > 0 | minimum lokal |
| = 0 | periksa turunan lebih tinggi |
Global: f″>0 untuk semua x (cembung) → min global; f″<0 semua x (cekung) → maks global
7 · Turunan orde lebih tinggi
Jika f″(x*)=0, cari turunan ke-n pertama yang ≠ 0 di x*:
| Turunan ke-n | tanda | hasil |
|---|---|---|
| n genap | < 0 | maks lokal |
| n genap | > 0 | min lokal |
| n ganjil | ≠ 0 | titik belok |
| = 0 | lanjut n+1 |
f=x⁴/4 − x³/3: f′=x³−x²=x²(x−1) → x=0,1; f″=3x²−2x
- x=1: f″=1>0 → min lokal
- x=0: f″=0; f″′=6x−2=−2≠0 (ke-3, ganjil) → belok
−x⁶: turunan ke-6 = −720 < 0 → maks lokal. x⁵: turunan ke-5 = 120 (ganjil) → belok.
8 · Contoh variabel tunggal (slide)
| f | x* | f″ | hasil |
|---|---|---|---|
| −x²+2x | 1 | −2 | maks lokal & global (f″<0 semua x) |
| x²+2x | −1 | 2 | min lokal & global (f″>0 semua x) |
| x³−3x | 1 ; −1 | 6x | min lokal ; maks lokal |
x³−3x: f′=3x²−3=0 → x=±1; f″(1)=6>0, f″(−1)=−6<0. f″=6x ganti tanda → tak cembung & tak cekung → x=1 bukan min global (f(−3)=−18 < f(1)=−2)